Teorema de Pitágoras

Apresentação do Teorema de Pitágoras e seu enquadramento histórico. Demonstração gráfica do Teorema (…)

O famoso Teorema de Pitágoras estabelece que num triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma do quadrado do comprimento dos catetos: considerando o comprimento da hipotenusa como c e o comprimento de cada um dos catetos como a e b, então c2 = a2 + b2. Embora geralmente se atribua a formulação do teorema ao filósofo grego Pitágoras, há indícios que sugerem que o mesmo tenha sido desenvolvido séculos antes pelo matemático hindu Baudhayana cerca de 800 a.C. É possível que até que os triângulos de Pitágoras fossem já conhecidos pelos babilónios da época de Hamurabi.

Não se sabe ao certo qual o método utilizado por Pitágoras para efetuar a demonstração do teorema mas é possível que tenha sido efetuada por comparação de áreas de figuras geométricas. Atualmente existem centenas de demonstrações publicadas. No seu livro «The Pythagorean Proposition», Elisha Loomis apresenta 367 demonstrações. Apresentamos abaixo a demonstração do Teorema por comparação de áreas.

Considere dois quadrados com lados iguais a a+b.

TeoremadePitagoras01

O primeiro é composto por seis figuras: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e quatro triângulos retângulos de catetos a e b. Se chamarmos de A a área de um desses triângulos e sendo a área total da figura (a+b)2, temos:  (a+b)2 = a2+b2+4A.

TeoremadePitagoras02

O segundo é composto também por quatro triângulos retângulos iguais aos anteriores e de um quadrado de lado c, equivalente à hipotenusa dos triângulos. Assim, nesse quadrado, teremos:(a+b)2 = c2+4A.

TeoremadePitagoras03

Temos assim que a2+b2+4A = c2+4A a2+b2 = c2 ⇔ c = √(a2+b2)

 

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