Números Perfeitos

O que são Números Perfeitos?

Um Número Perfeito é todo o número natural que seja igual à soma de todos os seus divisores, excluindo-se desse grupo de divisores o próprio número. Por exemplo, o número 28 é um número perfeito pois a soma dos seus divisores excluindo o 28 (1, 2, 4, 7, 14) é o próprio número 28.

Os primeiros a estudar estes números foram os Pitagóricos no séc. V a.C. Contudo, nessa altura eram conhecidos apenas os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8198. Apenas no século XV foi acrescentado mais um número ?a lista: o número 33.550.336. A grande dificuldade em encontrar números perfeitos está na sua extraordinária raridade. Devido a essa raridade, apenas com o surgimento dos computadores foi possível encontrar novos números perfeitos, nomeadamente o sexto número primo: 8.589.869.056. Atualmente são conhecidos apenas 47 números perfeitos, sendo que o maior de todos é de tal grandeza que possui mais de 25 milhões de algarismo (mais exatamente 25.956.377 algarismos, podendo ser escrito sob a forma 2^43.112.608 × (2^43.112.609 − 1)).

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Conjeturas sobre os Números Perfeitos

Ao longo de séculos foram efetuadas numerosas conjeturas e afirmações sobre os números perfeitos, algumas das quais mais tarde demonstradas como verdadeiras, outras que se vieram a verificar serem falsas e outras ainda que continuam por demonstrar.

Uma das mais famosas é a conjetura sobre a existência ou não de números perfeitos ímpares – se existe algum ou não, é uma conjectura antiga que permanece sem solução, mantendo-se como um dos grandes desafios da Teoria dos Números.

Outra conjutura está relacionada como a última proposição do nono livro dos Elementos de Euclides que afirma  que se 2ⁿ − 1  é um número primo então 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) é um número perfeito. Dez séculos mais tarde, por volta do ano 1000, Ibn al-Haytham (Alhazen), afirmava que todo o número perfeito par é da forma 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) onde 2ⁿ − 1 é um número primo. Mas apenas no séc. XVIII Leonhard Euler conseguiu provar que esta equação daria todos os números perfeitos pares.

Contudo, houve também afirmações que se vieram a demonstrar como falsas: por exemplo, pelo facto de o último algarismo dos quatro primeiros números perfeitos ser alternadamente 6 e 8 (6, 28, 496, 8128) alguns pitagóricos afirmavam que tal se verificaria para todos os números perfeitos. Esta conjetura manteve-se mesmo quando se descobriu o quinto número perfeito (33.550.336), mas verificou-se ser errada quando se descobriu o sétimo número perfeito, cujo último algarismo é também 6.

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Lista dos primeiros 10 Números Perfeitos